La technique des singletons : la base de toutes les grilles

Le mot « singleton » fait savant, mais l’idée est toute simple : un singleton, c’est une situation où il ne reste qu’une seule possibilité. Soit une case n’accepte plus qu’un chiffre, soit un chiffre n’a plus qu’une case. Ces deux situations suffisent pour résoudre entièrement les grilles Débutant et Facile, et elles restent le moteur de toutes les autres. Même dans une grille Expert, l’immense majorité des chiffres se place grâce à des singletons.

Rappel : les trois zones

Chaque case appartient à trois zones : une ligne, une colonne et un carré de 3 × 3. Dans chacune de ces zones, les chiffres de 1 à 9 doivent apparaître une fois et une seule. Toute la logique des singletons découle de cette règle. Si elle n’est pas encore évidente pour vous, la page Règles du sudoku la présente en détail.

Le singleton caché : un chiffre, une seule place

C’est le plus fréquent et le plus facile à repérer. On choisit un chiffre et une zone (le plus souvent un carré), et on cherche toutes les cases où ce chiffre pourrait aller. S’il n’y en a qu’une, le chiffre y va.

Exemple décrit

Prenez le carré en haut à gauche, qui n’a pas encore de 4. Il a cinq cases vides. Un 4 est déjà placé dans la ligne 1, dans le carré en haut au milieu : les cases vides de la ligne 1 de votre carré sont donc exclues. Un autre 4 se trouve dans la ligne 3, dans le carré en haut à droite : les cases vides de la ligne 3 sont exclues aussi. Il reste la ligne 2, où il y a deux cases vides, dans les colonnes 1 et 3. Or la colonne 1 contient déjà un 4, plus bas dans la grille. Une seule case reste : ligne 2, colonne 3. Le 4 va là.

On dit que le chiffre est « caché » parce que la case, elle, accepte peut-être plusieurs chiffres. C’est le point de vue du chiffre qui révèle la solution, pas celui de la case.

La méthode du balayage

Pour trouver les singletons cachés sans rien oublier, la méthode la plus fiable est le balayage :

• choisissez un chiffre, de préférence l’un des plus présents dans la grille ;
• visitez les neuf carrés un par un ;
• dans chaque carré qui n’a pas encore ce chiffre, rayez mentalement les lignes et colonnes où il est déjà présent ailleurs ;
• s’il ne reste qu’une case, écrivez le chiffre ;
• passez au chiffre suivant.

Le même raisonnement fonctionne dans une ligne ou une colonne : « dans la ligne 6, où peut aller le 9 ? ». C’est un peu moins intuitif à l’œil, mais indispensable dans les grilles plus difficiles.

Le singleton nu : une case, un seul chiffre

Ici, on part de la case. On regarde sa ligne, sa colonne et son carré, et on liste les chiffres déjà présents dans ces trois zones. S’ils couvrent huit chiffres différents, le neuvième est le seul possible.

Exemple décrit

Prenez la case située ligne 5, colonne 5, au centre de la grille. Sa ligne contient 1, 3, 7 et 8. Sa colonne contient 2, 3, 6 et 9. Son carré central contient 1, 4 et 6. Réunissons : 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Il ne manque que le 5. La case centrale reçoit donc le 5, même si aucun balayage de chiffre ne l’avait signalé.

Où le chercher

Le singleton nu se cache surtout dans les cases situées au croisement de zones très remplies. Une astuce : repérez la ligne et la colonne les plus pleines de la grille, et regardez leur case d’intersection si elle est vide. Elle a de bonnes chances de n’accepter qu’un seul chiffre.

Si vous notez les candidats au crayon, le singleton nu devient évident : c’est une case qui ne garde qu’une seule petite note. Notre article sur les notes au crayon explique comment les tenir à jour.

Caché ou nu : lequel chercher en premier ?

Dans la pratique, commencez toujours par les singletons cachés, chiffre par chiffre. Ils sont plus nombreux en début de partie et le balayage se fait vite. Les singletons nus prennent le relais quand la grille est bien avancée et que certaines lignes et colonnes sont presque pleines.

Le bon rythme ressemble à ceci : un tour complet de balayage pour les neuf chiffres, puis une recherche de cases à un seul chiffre dans les zones les plus remplies, puis un nouveau tour de balayage. Chaque placement en déclenche souvent d’autres, un peu comme des dominos.

Les pièges à éviter

• Oublier une zone. Pour un singleton nu, il faut vérifier les trois zones. Oublier le carré est l’erreur la plus courante.
• Confondre « je ne vois pas d’autre place » et « il n’y a pas d’autre place ». Avant d’écrire, vérifiez une seconde fois que toutes les autres cases sont vraiment exclues.
• Lâcher un chiffre trop vite. Un chiffre qui ne donne rien au premier tour peut se débloquer après deux ou trois placements d’autres chiffres.

Si malgré tout une contradiction apparaît, notre article Les erreurs qui bloquent une grille vous aide à retrouver la case fautive.

Jusqu’où vont les singletons ?

Dans nos cahiers, les grilles des niveaux Débutant (38 à 42 chiffres donnés) et Facile (36 à 40) se résolvent uniquement avec des singletons, du premier au dernier chiffre. À partir du niveau Moyen, il arrive un moment où aucun singleton n’est visible : il faut alors une technique d’élimination, comme les candidats bloqués, pour en faire apparaître un nouveau. Mais même là, chaque élimination n’a qu’un but : ramener un singleton.

Autrement dit, bien maîtriser les singletons, c’est maîtriser l’essentiel du sudoku.

S’entraîner

Pour rendre le balayage automatique, rien ne vaut la répétition sur des grilles adaptées. Commencez par les grilles gratuites de la page Sudoku débutant à imprimer. Si vous voulez enchaîner, le cahier Débutant réunit 200 grilles à solution unique, deux par page, avec les solutions à la fin et une page de suivi pour cocher celles que vous avez terminées.